Journées APMEP Le Havre 2024

La querelle des tangentes au XVII^e : divers points de vue sur les tangentes

L’atelier présentera différents points de vue sur les tangentes au travers de textes historiques, et en particulier les points de vue qui émergent au moment de ce qu’on a appelé la « querelle des tangentes », dont les principaux protagonistes sont Descartes et Fermat.

Les géomètres anciens savaient construire des tangentes à quelques courbes. On trouve par exemple dans les Éléments d’Euclide (IIIe siècle avant J.C.) une définition de tangente au cercle et la construction de cette tangente. Cependant, les textes grecs ne donnent pas de méthode générale de recherche de tangentes. Les mathématiciens du XVII^e siècle s’attaquent à ce problème et des échanges ont lieu sur ce thème.

Nous commencerons par donner rapidement la conception de la tangente chez Euclide, puis nous étudierons le travail de Descartes dans La Géométrie et la réponse de Fermat, qui va entraîner une querelle entre Descartes et Fermat. Voici ce qu’en dit Baillet, biographe de Descartes, en 1691 :

« Le feu de la dispute prit de grands accroissements par le zèle de ceux qui voulurent y entrer, & elle roula toute par la suite sur deux points importants, dont l’un regardait la Dioptrique et l’autre la Géométrie. […] Voilà ce que M. de Fermat appelait sa petite guerre contre M. Descartes, & ce que M. Descartes appelait son petit procès de Mathématiques contre M. De Fermat. »

Cette querelle donne l’occasion aux deux protagonistes d’éclairer leur propos et de préciser leurs conceptions sur la notion de tangente. Roberval, un de « ceux qui voulurent entrer » dans cette dispute, donne également sa propre conception et sa propre méthode.

L’étude d’extraits de textes historiques permet de mieux comprendre la diversité des points de vue, et donc aussi de mieux appréhender la notion de tangente, une notion difficile du programme des classes de lycée. Nous donnerons des utilisations possibles en classe, ainsi que des pistes de réflexion pédagogique sur ce thème.

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