Utilisation de l’histoire dans l’enseignement de l’arithmétique

(Dossier préparé par Anne-Michel Pajus et Martine Bühler du groupe M.:A.T.H.)

Articles généraux :

• Sur différents types de démonstration recontrées en arithmétique : analyse de textes écrits entre le 17ème et le 20ème siècle, du point de vue des méthodes de démonstration et des théorèmes de divisibilité utilisés; l’article contient de nombreux extraits de textes sources et deux annexes sur des compléments théoriques.
• About different kinds of proofs encountered specifically in arithmetic (Fermat’s Little Theorem) (une version réduite en anglais de l’article précédent.
• Arithmétique et codes secrets : un coup d’oeil historique (brève histoire des codes secrets).
• Factorisation de grands nombres et machine de Carissan (avec un texte de Fermat et des figures permettant de fabriquer sa propre machine de Carissan à trois disques sur transparents). Vous trouverez également un compte-rendu d’expérimentations en classe dans : Martine Bühler, « La machine à congruences des frères Carissan », in E. Barbin (dir.), Les mathématiques éclairées par l’histoire, Des arpenteurs aux ingénieurs, Vuibert-Adapt, 2012, pp175-191.
  Vous trouverez en bas de cette page trois vidéos sur la machine de Carissan.
• Mathématiques et théâtre : traduction d’un extrait de Breaking the code, pièce de H. Whitemore.

Utilisation en classe :

1 – Quatre devoirs d’arithmétique en terminale scientifique :

• Restes des puissances de 7 modulo 641 (avec un texte d’Euler et conjecture sur tableur).
• Le théorème chinois des restes (avec un extrait de Sunzi Suanjing).
• Étude des diviseurs des nombres de Mersennes à l’aide du théorème de Fermat (avec un texte de Fermat).
• Factorisation de grands nombres et machine de Carissan (textes de Fermat et Carissan).

Vous trouverez en bas de cette page un film d’amateur d’une quinzaine de minutes expliquant le fonctionnement de la machine de Carissan et les vidéos de 2 conférences sur la Machine de Carissan.

2 – Démarches d’investigation et instruments en arithmétique :
Vous trouverez entre autres via ce lien un problème pour une classe de Terminale scientifique et une vidéo sur l’échiquier de Lucas

Textes sources :

• Théon de Smyrne : traduction et commentaires par Alain Bernard d’un texte sur les nombres figurés (extrait de Sur ce qui est utile pour la lecture de Platon, IIème après J.C.).
• Jacques Ozanam : fac-simile d’un texte sur les nombres figurés extrait du Dictionnaire Mathématique ou idée générale des mathématiques, 1691.
• G.W. Leibniz : texte original, traduction et commentaires d’une démonstration du petit théorème de Fermat.
• L. Euler   traduction d’une démonstration du petit théorème de Fermat. Traité 262 du catalogue Enestrom (1758/9)

À lire aussi